что такое секущая по отношению к двум прямым
Геометрия. 7 класс
Конспект урока
Признаки параллельности прямых
Перечень рассматриваемых вопросов:
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Признаки параллельности двух прямых:
1. Если при пересечении двух прямых секущей, накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
2. Если при пересечении двух прямых секущей, соответственные углы равны, то прямые параллельны.
3. Если при пересечении двух прямых секущей, сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Вы уже знаете, что при пересечении двух прямых секущей образуются углы:
Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках.
Рассмотрим и докажем признаки параллельности прямых.
Если при пересечении двух прямых секущей, накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Дано: прямые a и b, секущая AB, ∠ 1 = ∠ 2 накрест лежащие.
В этом случае две прямые, перпендикулярные к третьей не пересекаются, т. е. параллельны.
2 случай: ∠ 1= ∠ 2 ≠ 90°
1) Из середины O отрезка AB проведём перпендикуляр OH к прямой а. На прямой b от точки B отложим отрезок BH1, равный отрезку AH и проведем отрезок OH1.
2) AO = OB т. к. O середина AB; AH = BH1 по построению; ∠1 = ∠2 по условию. Тогда ΔOHA = ΔOH1B по первому признаку равенства треугольников.
Далее следует из равенства треугольников: ∠3 = ∠4 и ∠5 = ∠6.
3) Из равенства углов ∠3 и ∠4 следует, что точка H1 лежит на продолжении луча OH. Это значит, что точки H1, O, H лежат на одной прямой.
4) Из равенства ∠5 и ∠6 следует, что ∠6 = 90°. Это значит, что прямые a и b перпендикулярны к третьей НН1, а значит, по теореме о двух прямых, перпендикулярных к третьей, не пересекаются, т. е. параллельны.
Если при пересечении двух прямых секущей, соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Дано: прямые a и b, секущая AB, ∠1 = ∠2 соответственные.
∠1 = ∠2 – по условию и ∠2 = ∠3 – по свойству вертикальных углов.
Значит, ∠1 = ∠3, это накрест лежащие углы, следовательно, a║b по теореме 1.
Если при пересечении двух прямых секущей, сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Прямые a и b, секущая AB, ∠1 + ∠2 = 180° ‑ односторонние.
∠3 +∠2 = 180°– по свойству смежных углов, откуда ∠3 = 180° – ∠2.
∠1 + ∠2 = 180 ° по условию, откуда ∠1 = 180° – ∠2.
Тогда ∠1 = ∠3, это накрест лежащие углы, следовательно, a║b по теореме 1.
Разбор заданий тренировочного модуля.
Ответ: прямые a и b параллельны по 1 признаку параллельности прямых.
Дано: ΔABC – равнобедренный, ∠А = 60°. CD – биссектриса ∠BCK.
Ответ: AB║CD по 2 признаку параллельности прямых.
Геометрия. 7 класс
Конспект урока
Признаки параллельности прямых
Перечень рассматриваемых вопросов:
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Признаки параллельности двух прямых:
1. Если при пересечении двух прямых секущей, накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
2. Если при пересечении двух прямых секущей, соответственные углы равны, то прямые параллельны.
3. Если при пересечении двух прямых секущей, сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Вы уже знаете, что при пересечении двух прямых секущей образуются углы:
Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках.
Рассмотрим и докажем признаки параллельности прямых.
Если при пересечении двух прямых секущей, накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Дано: прямые a и b, секущая AB, ∠ 1 = ∠ 2 накрест лежащие.
В этом случае две прямые, перпендикулярные к третьей не пересекаются, т. е. параллельны.
2 случай: ∠ 1= ∠ 2 ≠ 90°
1) Из середины O отрезка AB проведём перпендикуляр OH к прямой а. На прямой b от точки B отложим отрезок BH1, равный отрезку AH и проведем отрезок OH1.
2) AO = OB т. к. O середина AB; AH = BH1 по построению; ∠1 = ∠2 по условию. Тогда ΔOHA = ΔOH1B по первому признаку равенства треугольников.
Далее следует из равенства треугольников: ∠3 = ∠4 и ∠5 = ∠6.
3) Из равенства углов ∠3 и ∠4 следует, что точка H1 лежит на продолжении луча OH. Это значит, что точки H1, O, H лежат на одной прямой.
4) Из равенства ∠5 и ∠6 следует, что ∠6 = 90°. Это значит, что прямые a и b перпендикулярны к третьей НН1, а значит, по теореме о двух прямых, перпендикулярных к третьей, не пересекаются, т. е. параллельны.
Если при пересечении двух прямых секущей, соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Дано: прямые a и b, секущая AB, ∠1 = ∠2 соответственные.
∠1 = ∠2 – по условию и ∠2 = ∠3 – по свойству вертикальных углов.
Значит, ∠1 = ∠3, это накрест лежащие углы, следовательно, a║b по теореме 1.
Если при пересечении двух прямых секущей, сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Прямые a и b, секущая AB, ∠1 + ∠2 = 180° ‑ односторонние.
∠3 +∠2 = 180°– по свойству смежных углов, откуда ∠3 = 180° – ∠2.
∠1 + ∠2 = 180 ° по условию, откуда ∠1 = 180° – ∠2.
Тогда ∠1 = ∠3, это накрест лежащие углы, следовательно, a║b по теореме 1.
Разбор заданий тренировочного модуля.
Ответ: прямые a и b параллельны по 1 признаку параллельности прямых.
Дано: ΔABC – равнобедренный, ∠А = 60°. CD – биссектриса ∠BCK.
Ответ: AB║CD по 2 признаку параллельности прямых.