что такое прогрессия в математике

a_n+1= a_n + d, где d — это разность арифметической прогрессии.

Описать словами эту формулу можно так: каждый член арифметической прогрессии равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d.

Разность между последующим и предыдущим членами, то есть разность арифметической прогрессии можно найти по формуле:

Если известны первый член a₁ и n-ый член прогрессии, разность можно найти так:

Арифметическая прогрессия бывает трех видов:

Пример: последовательность чисел 11, 14, 17, 20, 23. — это возрастающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 3 > 0.

Свойство арифметической прогрессии

Переведем с языка формул на русский: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Что как раз объясняет название «арифметическая» прогрессия.

Рассмотрим пример арифметической прогрессии.

Дано: арифметическая прогрессия (a_n), где a₁ = 0 и d = 2.

Найти: первые пять членов прогрессии и десятый член прогрессии.

Решение арифметической прогрессии:

По условиям задачи n = 10, подставляем в формулу:

Формулы арифметической прогрессии

В 9 классе проходят все формулы арифметической прогрессии. Давайте узнаем, какими способами ее можно задать:

Сумма первых n членов арифметической прогрессии (а_n) обозначается S_n:

Формулы нахождения суммы n членов арифметической прогрессии:

Чтобы быстрее запомнить формулы можно использовать такую табличку с основными определениями:

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Из определения арифметической прогрессии следует, что равенство истинно:

Значит,

Переведем с языка формул на русский: если мы знаем первый член и разность арифметической прогрессии, то можем найти любой ее член.

Арифметическую прогрессию можно назвать заданной, если известен ее первый член и разность.

Доказательство формулы n-го члена арифметической прогрессии

Формулу n-го члена арифметической прогрессии можно доказать при помощи метода математической индукции.

Пусть дано:

Нужно доказать:

Действительно,

Согласно принципу математической индукции формула верна для любого натурального числа.

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это последовательность (b_n), в которой каждый последующий член можно найти, если предыдущий член умножить на одно и то же число q.

Если последовательность (b_n) является геометрической прогрессией, то для любого натурального значения n справедлива зависимость:

Если в геометрической прогрессии (b_n) известен первый член b₁ и знаменатель q, то можно найти любой член прогрессии:

Общий член геометрической прогрессии bn можно вычислить при помощи формулы:

Пример 1. 2, 6, 18, 54,… — геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.

Пример 3. 7, 7, 7, 7,… — геометрическая прогрессия b = 7, q = 1.

Источник

Прогрессии и последовательности: решаем ОГЭ по математике

Григорий Грянников

Тема «прогрессии» на ОГЭ тесно связана с понятием «последовательность». Если ученики понимают, как числа в последовательности связаны друг с другом, они легко справляются с заданиями. Сейчас мы разберем прогрессии — одну из самых коварных тем ОГЭ по математике. Обратите внимание: в этом материале все самое главное для решения ОГЭ, никакой воды!

Что такое последовательность?

В жизни мы очень часто сталкиваемся с математическими последовательностями и прогрессиями, буквально, каждый день, сами того не замечая. Однако встреча не всегда может быть приятной, особенно если она происходит на экзамене.

Последовательность – это набор элементов множества, который удовлетворяет следующим условиям:

Хочешь круто подготовится к ОГЭ? Тебе поможет учебный центр MAXIMUM! Все наши преподаватели сами сдавали этот экзамен на хороший балл. Мы ежегодно изучаем изменения ФИПИ и корректируем курсы, исходя из этого. Читай подробнее про наши курсы и выбирай подходящий!

Какие виды последовательности бывают?

Различают следующие виды последовательности:

Что такое арифметическая прогрессия?

Давайте посмотрим на следующий ряд чисел:

Что же у них может быть общего? Во-первых, все они нечетные, во-вторых, каждое следующее число мы можем получить из предыдущего, прибавляя к нему одно и то же число. Назовем это число d. В нашем случае d=2.

Описанная выше последовательность называется арифметической прогрессией. Получаем определение:

Приведем основные формулы:

Сумма первых n членов прогрессии можно вычислить по формуле:

Также арифметическая прогрессия обладает характерным свойством:

Как решать задачи ОГЭ на арифметическую прогрессию?

Теория — это прекрасно, но каждую теоретическую тему необходимо закреплять на практике. Сейчас мы разберем пару заданий ОГЭ по арифметической прогрессии.

Например, на ОГЭ может попасться вот такое задание:

Решение:

Ура! Первый прототип задания, который может встретиться на реальном экзамене, успешно выполнен. Идем дальше.

Решение:

Вот и все! Ничего сложного, учитывая то, что формула суммы первых n членов прогрессии есть в справочных материалах, которые выдаются на экзамене.

Что такое геометрическая прогрессия?

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число q – знаменатель прогрессии. Элементы геометрической прогрессии можно задать соотношением:

Вот основные формулы для геометрической прогрессии:

Также геометрическая прогрессия, как и арифметическая, обладает характерным свойством:

Как решать задачи ОГЭ на геометрическую прогрессию?

Закрепим материал на практике и разберем две задачи ОГЭ по геометрической прогрессии.

Как видите, со знанием формул любое задание становится несложным!

В каком задании ОГЭ могут встретиться прогрессии?

Тема «Прогрессия» встречается в задании ОГЭ под номером 12. Выполнение этого задания экзаменуемым зависит от уровня сложности самого задания. В среднем с ним справляется всего 47% школьников. Как видите, сама тема не очень сложная. Все можно решить — достаточно правильно и хорошо подготовиться.

Напомним, что в КИМах с инструкцией и заданиями есть вспомогательные формулы, которые помогут при решении нашей задачи на прогрессию.

Теперь вы знаете теорию по теме прогрессии на ОГЭ. Можете смело оттачивать знания на практике. Пусть ваша встреча с прогрессиями на экзамене будет не печальной, а победной!

Хотите разобраться в других темах ОГЭ? Боитесь, что экзамены уже в следующем году, а вы даже не открывали учебники? Начните готовиться к ОГЭ-2021 уже сейчас на курсах с MAXIMUM. Мы поможем закрыть пробелы и сдать все на отлично. Правильная и интересная подготовка — залог успеха на экзаменах. Консультация бесплатно!

Источник

Алгебра. Урок 6. Прогрессии

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Числовые последовательности

Числовая последовательность – это функция, заданная на множестве натуральных чисел. Каждый элемент последовательности имеет свой порядковый номер.

Числа в последовательности могут быть любыми – положительными и отрицательными, целыми и дробными, рациональными и иррациональными.

Так почему же, спросите вы, в определении числовой последовательности есть фраза «функция, заданная на множестве натуральных чисел»? Потому что каждый член последовательности имеет свой порядковый номер (ну а нумеруем мы с единицы).

a 1 = 1, a 2 = 2, a 3 = 3, a 4 = 4, a 5 = 5, …

a 1 = 1, a 2 = 4, a 3 = 9, a 4 = 16, a 5 = 25, …

a 1 = − 3, a 2 = − 2, a 3 = − 1, a 4 = 0, a 5 = 1, a 6 = 2, a 7 = 3.

Числовые последовательности можно задавать несколькими способами:

Для нахождения каждого следующего члена последовательности требуется знать предыдущий.

n = 1, a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 2 = a 1 + 1 = 1 + 1 = 2

n = 2, a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 3 = a 2 + 1 = 2 + 1 = 3

n = 3, a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 4 = a 3 + 1 = 3 + 1 = 4

n = 4, a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 5 = a 4 + 1 = 4 + 1 = 5

Для нахождения каждого следующего члена последовательности требуется знать предыдущий.

n = 1, a n + 1 = ( a n + 1 ) 2 ⇒ a 2 = ( a 1 + 1 ) 2 = ( 1 + 1 ) 2 = 2 2 = 4

n = 2, a n + 1 = ( a n + 1 ) 2 ⇒ a 3 = ( a 2 + 1 ) 2 = ( 4 + 1 ) 2 = 3 2 = 9

n = 3, a n + 1 = ( a n + 1 ) 2 ⇒ a 4 = ( a 3 + 1 ) 2 = ( 9 + 1 ) 2 = 4 2 = 16

n = 4, a n + 1 = ( a n + 1 ) 2 ⇒ a 5 = ( a 4 + 1 ) 2 = ( 16 + 1 ) 2 = 5 2 = 25

a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 2 = a 1 + 1 = − 3 + 1 = − 2 ; − 2 ≤ 3

a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 3 = a 2 + 1 = − 2 + 1 = − 1 ; − 1 ≤ 3

a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 4 = a 3 + 1 = − 1 + 1 = 0 ; 0 ≤ 3

a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 5 = a 4 + 1 = 0 + 1 = 1 ; 1 ≤ 3

a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 6 = a 5 + 1 = 1 + 1 = 2 ; 2 ≤ 3

a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 7 = a 6 + 1 = 2 + 1 = 3 ; 3 ≤ 3

a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 8 = a 7 + 1 = 3 + 1 = 4 ; 4 ≤ 3

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией < a n >называют числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом.

Разностью d арифметической прогрессии называют число, которое каждый раз прибавляют к предыдущему числу.

a 2 = a 1 + d a 3 = a 2 + d … a n = a n − 1 + d

Арифметическая прогрессия может быть

Примеры арифметической прогрессии:

Формулы арифметической прогрессии

(3) a n = a 1 + ( n − 1 ) d

Сумма n первых членов:

(4) S n = a 1 + a n 2 ⋅ n

(5) a n = a n − 1 + a n + 1 2

(6) a n = a n − k + a n + k 2

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией < b n >называют числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же данной последовательности число.

Знаменателем q геометрической прогрессии называют число, на которое каждый раз умножают предыдущее число.

Геометрическая прогрессия может быть

Примеры геометрической прогрессии:

Формулы геометрической прогрессии

(3) b n = b 1 ⋅ q n − 1

Сумма n первых членов:

(4) S n = b 1 ⋅ ( q n − 1 ) q − 1

(5) b n = b n − 1 ⋅ b n + 1

(6) b n = b n − k ⋅ b n + k

Задание №12 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.

Источник

Числовые последовательности для чайников: определение, формулы

По просьбам читателей возобновляем рубрику «Математика для чайников». Говорим о числовых последовательностях и вычислении их пределов. Выясняем, чем последовательность отличается от простого набора чисел и как ее можно задать.

Нужно больше полезной и интересной информации? Этого добра много не бывает! Присоединяйтесь к нам в телеграм.

Последовательности чисел

Мы сталкиваемся с последовательностями чисел каждый день. Вот только встреча с последовательностями на экзамене может быть не самой приятной.

Чтобы было иначе, читаем эту статью, а если что-то непонятно, смело обращаемся к нашим консультантам за помощью.

Одна из самых интересных и известных последовательностей – числа Фибоначчи. Эта последовательность имеет удивительные свойства и часто встречается в природе. Например, семечки у подсолнуха упорядочены в две спирали. Числа, обозначающие количество семечек в каждой из них, являются членами последовательности Фибоначчи.

Что такое числовая последовательность?

Последовательность – это набор элементов множества, который удовлетворяет следующим условиям:

Числовая последовательность – это функция переменной n, которая принадлежит множеству натуральных чисел N.

Существованием функции, по которой можно вычислить любой член последовательности, она и отличается от случайного набора чисел.

На словах звучит громоздко и сложно. Но на то это и математика, чтобы записывать все буквами и числами. Обычно последовательность обозначают буквой x, хотя можно применять и другие.

Какие бывают последовательности

Также последовательности делятся на сходящиеся и расходящиеся. Сходящаяся последовательность имеет конечный предел. А предел расходящейся последовательности равен бесконечности, либо последовательность вообще не имеет предела. Но о пределах немного позже.

Рассмотрим самые известные примеры последовательностей. Еще со школы всем знакомы арифметическая и геометрическая прогрессии.

Арифметическая прогрессия

Посмотрим на числа:

Что у них общего? Они все нечетные и каждое следующее можно получить из предыдущего, прибавляя к нему одно и то же число. Назовем его d. В данном случае d=2.

Описанная выше последовательность – арифметическая прогрессия. Приведем основные формулы для нее:

Элемент a с номером n называется общим членом последовательности. А число d – разностью афифметической прогрессии.

Сумма первых n членов прогрессии вычисляется по формуле:

Также африфметическая прогрессия обладает характреристическим свойством:

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число q – знаменатель прогрессии. Элементы геометрической прогрессии задаются соотношением:

Основные формулы для геометрической прогрессии приведены ниже. Формула n-го члена прогрессии:

Сумма первых n членов прогрессии:

Характеристическое свойство геометрической прогрессии:

Способы задания последовательностей

Последовательность можно задать несколькими способами:

Предел последовательности

Мы уже говорили о пределах функций и способах их вычисления. Из определения последовательности следует, что последовательность – это и есть некоторая функция. Так что, вычисление пределов последовательностей будет во многом схоже с вычислением пределов функций. Правда, со своими особенностями.

Предел последовательности – это такой объект, к которому стремятся члены последовательности с ростом порядкового номера n.

Скажем иначе. Это число, в окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого.

Переменная n в последовательностях всегда стремится к бесконечности, в сторону увеличения натуральных чисел.

Что нужно помнить, вычисляя пределы последовательностей

Кстати! Также полезно помнить, что для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы.

Для проверки своих решений при вычислении пределов не обязательно нести работу на проверку преподавателю. Достаточно воспользоваться онлайн калькулятором.

Тема последовательностей разрабатывалась многими математиками на протяжении веков. Охватить ее в одной статье просто невозможно. Здесь мы дали лишь поверхностное представление. Если у вас есть вопросы или нужна консультация – обращайтесь к специалистам студенческого сервиса, которые помогут быстро прийти к понимаю.

Источник

8. Базовая математика Читать 0 мин.

8.398. Прогрессии

Прогрессии

Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение («progression», что означает «движение вперед»), был введен римским математиком Боэцием в 6 веке.

Что такое прогрессия? Это тип последовательности. А что такое последовательность? Это бесконечный набор чисел, подчиняющийся определенному правилу. Например, последовательность составляют все числа, делящиеся на 2. Их бесконечно много, и они подчиняются определенному правилу. Последовательность можно задать формулой n-го члена, где n – номер члена последовательности.

Последовательность также может задаваться правилом, по которому находят каждый ее член, если известны предыдущие. Например, первые два члена последовательности равны единице, а каждый следующий равен сумме двух непосредственно предшествующих ему. Тогда получаем последовательность чисел:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … (называемых числами Фибоначчи)

Есть два вида последовательностей, которые изучаются в курсе математики– это арифметические и геометрические прогрессии.

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называют такую числовую последовательность, каждый следующий член которой отличается от предшествующего члена на одно и то же число d.

Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Пример: найдите b₄, b₁₁ геометрической прогрессии, если b₁ = 3, q = 2

Пример: найдите сумму пяти членов геометрической прогрессии, у которой b₁ = 2, q = 3

Каждый член знакоположительной геометрической прогрессии представляет собой среднее геометрическое его соседних членов (исключение составляют первый и последний члены, т.к. у них только по одному соседнему члену):

Зная одну формулу, легко можно получить другую – надо лишь сложение заменить умножением и умножение заменить возведением в степень, и из формулы для арифметической прогрессии получится формула для геометрической прогрессии.

Сложные проценты

Есть два вида процентов доходности – простые и сложные.

Чтобы с ними разобраться, представим двух братьев: Расчетливого Сашу и Простака Петю. Их отец дал каждому по 1000 рублей, и оба кладут их в банк. Расчетливый Саша всегда пользуется счетом со сложными процентами, а Простак Петя больше любит поступать по старинке и предпочитает счета с простыми процентами.

У простого процента такой особенности нет, его рассчитывают от стартовой суммы, которую называют «основным капиталом». Пете легко в этом разобраться: основной капитал зарабатывает каждый год одну и ту же сумму.

Если вы откладываете деньги, занимаете их, пользуетесь кредитной картой, берёте в ипотеку или покупаете пожизненную ренту, формула сложного процента работает на (или против) вас.

Давайте выведем формулу сложных процентов. Допустим, у нас есть некоторая сумма S, в конце года мы ее увеличиваем на некоторый процент (%). Полученную сумму S₁ после начисления процентов можно посчитать так:

В следующем году полученную сумму снова увеличим на тот же процент. Тогда можем записать верное равенство:

$ S_<2>=S_<1>+\frac<\%> <100>\cdot S_ <1>= S_ <1>\big( 1+ \frac<\%> <100>\big) = S \big( 1+ \frac<\%> <100>\big) \big( 1+ \frac<\%> <100>\big) = S \big( 1+ \frac<\%> <100>\big)^ <2>$

Аналогично мы можем посчитать полученную сумму еще через год:

$ S_<3>=S_<2>+\frac<\%> <100>\cdot S_ <2>= S_ <2>\big( 1+ \frac<\%> <100>\big) = S_ <1>\big( 1+ \frac<\%> <100>\big)^ <2>\big( 1+ \frac<\%> <100>\big) = S \big( 1+ \frac<\%> <100>\big)^ <3>$

Таким образом, если периодов n, то можем записать формулу вычисления сложных процентов:

$ S_=S \big( 1+ \frac <\%> <100>\big)^ $ начисление процентов (%) на сумму S через n периодов.

Тогда последовательность остатков долга будет следующей:

$ S; S \big( 1+ \frac <\%> <100>\big); S \big( 1+ \frac <\%> <100>\big)^<2>; S \big( 1+ \frac <\%> <100>\big)^<3>. S \big( 1+ \frac <\%> <100>\big)^ $

Видим, что это геометрическая прогрессия.

Источник

• ← что такое прогрессия в алгебре
• что такое прогрессия в натальной карте →