перевод мнимых чисел в показательную форму
Как преобразовать алгебраическую форму записи величины в показательную
В общем случае алгебраическая форма записи комплексной величины выглядит следующим образом:
Но это математическая запись. В электротехнике принято мнимую единицу обозначать не «i», а буквой «j» (это сделано для того, чтобы не было путаницы с токами, которые чаще всего и обозначаются латинской буквой «i»). Тогда в электротехнике вы скорее всего увидите запись:
При этом мнимая единица может стоять как первым множителем, так и вторым. То есть это же число можно записать:
Что касается показательной формы записи, то в она обычно выглядит так:
Чтобы легко понять как эти формы записи связаны друг с другом, достаточно рассмотреть изображение вектора на комплексной плоскости:
Поскольку тангенс угла есть отношение противолежащего катета к прилежащему:
Можно легко определить нужный угол:
Разберем на практическом примере. Пусть в алгебраической форме задано значение тока:
Теперь рассчитаем угол поворота вектора:
Все весьма несложно. Однако, существует один хитрый момент, который нужно иметь ввиду. Предположим, нам задан задан ток в алгебраической форме I=-3-j3. Построим его на комплексной плоскости для наглядности:
С определением длины вектора трудностей не возникнет. Однако, как только мы попытаемся определить угол, то увидим:
Очевидно, угол здесь не может быть 45 градусов. Он должен быть или минус 135 или плюс 225 градусов. Так происходит из-за того, что в формуле арктангенса оказались два отрицательных числа. Грубо говоря, знак «минус» сокращается и арктангенс показывает тот же угол, что и при положительных значениях. Чтобы избежать такой ошибки, досточно ввести правило на случай отрицательной действительной части:
Итак, простой алгоритм перевода алгебраической формы записи комплексного числа в показательную:
Числа. Комплексные (мнимые) числа.
Множество всех комплексных чисел с арифметическими операциями есть поле и обычно обозначают как 
.
Мнимое число (либо чисто мнимое число) — комплексное число с действительной частью, равной нулю. Раньше этим термином обозначали комплексные числа.
Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:
Например, построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
, 
, 
.
Действия над комплексными числами.
означает, что a = c и b = d (2 комплексных числа равны между собой только в том случае, если равны их действительные и мнимые части).
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
Для того чтобы сложить 2 комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:
(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i.
Действие аналогично сложению, отличие только в том, что вычитаемое берем в скобки, а потом – как обычно раскрываем их со сменой знака:
У числа, которое мы получили 2, а не 3 части. Так как действительная часть является составной: 
. Что было понятней ответ перепишем так: 
.
Рассчитываем 2-ю разность:
Здесь действительная часть тоже составная: 
.
Приведем короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: 
. В этом случае без скобок никак не обойтись.
Найдем произведение комплексных чисел 
, 
Раскрываем скобки, как обычно. Обратите внимание, что 
и будьте внимательны.
Напомним: Чтобы умножить многочлен на многочлен надо все члены 1-го многочлена умножить на каждый член другого многочлена.
Очевидно, что 
.
Как и в сумме, в произведении комплексных чисел работает перестановочный закон: 
.
Произведение 2-х сопряжённых комплексных чисел равно положительному действительному числу.
Если делитель ненулевой, деление всегда возможно.
Есть комплексные числа 
, 
. Найдем частное 
.
Деление чисел производится способом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.
Напомним, что 
и смотрим на наш знаменатель: 
. В знаменателе уже имеется 
, поэтому сопряженным выражением в данном случае оказывается 
, т.е. 
.
Из правила, знаменатель необходимо домножить на 
, и, чтобы ничего не изменилось, умножить числитель на такое же число :
Дальше в числителе раскрываем скобки. А в знаменателе пользуемся формулой (при ).
Часто перед делением дробь лучше упростить.
Свойства комплексных чисел.
1. Основная теорема алгебры.
У всех, не являющихся константой многочленов (от одной переменной) с комплексными коэффициентами есть как минимум 1 корень в поле комплексных чисел.
2. Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел.
Эта формула помогает возводить в целую степень комплексное число, не равное нулю, которое представлено в тригонометрической форме.
Формула Муавра имеет вид:
где r — модуль, а φ — аргумент комплексного числа.
Аналогичная формула применяется также и при вычислении корней n-ой степени из комплексного числа, не равного нулю:
Заметим, что корни n-й степени из комплексного числа, не равного нулю, всегда есть, и их чило равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни оказываются вершинами правильного n-угольника, который вписан в окружность радиуса с центром в начале координат.
Например, корни 5-ой степени из единицы (вершины пятиугольника):
Перевод мнимых чисел в показательную форму
Геометрическая интерпретация комплексного числа – точка (или вектор) на плоскости.
По оси абсцисс расположена ось действительных чисел (положительное направление обозна 
чено +1), а по оси ординат – ось мнимых чисел (положительное направление обозначено +j).
Проекция вектора на ось +1 – действительная часть, а проекция на ось +j – мнимая часть. Таким образом, алгебраическая форма записи соответствует декартовой (прямоуг ольной) системе координат (обозначим её xy).
Этот же вектор м ожет быть задан и в полярной системе координат. То есть через длину вектора I и угол поворота ψ (обозначим её rθ). Полярной системе координат соответствует показательная форма записи комплексного числа
где I – модуль комплексного числа; ψ – аргумент (или попросту угол)
Обе формы записи (алгебраическая и показательная) используются при расчётах: складывать и вычитать комплексные числа удобно в алгебраической форме записи, а делить и умножать – в показательной. Следовательно, нужно уметь переводить комплексные числа из алгебраической формы записи в показательную (→rθ) и из показательной в алгебраическую (→xy).
Основные операции с комплексными числами
Сложение
Пусть два комплексных числа заданы в алгебраической форме записи
То есть при сложении действительные части складываются с действительными, а мнимые с мнимыми.
Вычитание – аналогично:
Умножение
Пусть два комплексных числа заданы в показательной форме записи
То есть при умножении модули перемножаются, а аргументы складываются
Деление
Пусть два комплексных числа заданы в показательной форме записи
То есть при делении модули делятся, а аргументы вычитаются.
Операции с комплексными числами на инженерных калькуляторах
Первое на что нужно обратить внимание при включении калькулятора это, в каких единицах измеряются углы.
Комплексные числа
Формы
Так сложилось в математике, что у данных чисел несколько форм. Число одно и тоже, но записать его можно по-разному:
Далее с примерами решений вы узнаете как переводить комплексные числа из одной формы в другую путем несложных действий в обе стороны.
Изображение
Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:
Вычислить сумму и разность заданных комплексных чисел:
Сначала выполним сложение. Для этого просуммируем соответствующие мнимые и вещественные части комплексных чисел:
Аналогично выполним вычитание чисел:
Выполнить умножение и деление комплексных чисел:
Так, теперь разделим первое число на второе:
Суть деления в том, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого нужно домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю и затем раскрываем все скобки:
Разделим числитель на 29, чтобы записать дробь в виде алгебраической формы:
Для возведения в квадрат достаточно умножить число само на себя:
Пользуемся формулой для умножения, раскрываем скобки и приводим подобные:
В этом случае не всё так просто как в предыдущем случае, когда было возведение в квадрат. Конечно, можно прибегнуть к способу озвученному ранее и умножить число само на себя 7 раз, но это будет очень долгое и длинное решение. Гораздо проще будет воспользоваться формулой Муавра. Но она работает с числами в тригонометрической форме, а число задано в алгебраической. Значит, прежде переведем из одной формы в другую.
Вычисляем значение модуля:
Найдем чем равен аргумент:
$$ \varphi = arctg \frac<3> <3>= arctg(1) = \frac<\pi> <4>$$
Записываем в тригонометрическом виде:
Преобразуем в алгебраическую форму для наглядности:
Представим число в тригонометрической форме. Найдем модуль и аргумент:
Используем знакомую формулу Муавра для вычисления корней любой степени:
Перевод мнимых чисел в показательную форму
где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы
Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.
Числа z = x + iy и 
называются комплексно сопряженными.
Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.
Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора 
, изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотношений сторон в прямоугольном треугольнике получаем
Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле
Аргумент определяется из формул:
Используя формулу Эйлера
комплексное число 
можно записать в так называемой показательной (или экспоненциальной) форме
где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол 
( k =0;–1;1;–2;2…).
Пример 7.1. Записать комплексные числа 
в тригонометрической и показательной формах.
На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.
Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = –1. Действительно,
Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:
(7.13) называется первой формулой Муавра.
Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:
На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби 
на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = –1 и формулы разности квадратов.
Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:
Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.
Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:
Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение
На основании формулы (7.14) вычислим их частное
Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:
Аналогично, для z 2 можно записать:
По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:
Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:
в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).
(7.18) называется второй формулой Муавра.
Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.
Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами
Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.
Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.