что такое проверка размерности в физике

Метод размерностей. Часть первая

Как и обещал, мои дорогие подписчики, выкладываю первую часть цикла статей о простой непростой физике.

Изначально я хотел написать краткий цикл статей о физике без формул, но в этой первой теме без них совсем никак.

Я также решил разбить этот материал на 2 части, ибо много всего есть.

Поэтому, дорогие гуманитарии, заранее прошу прощения:)

Для понимания происходящего в 1 части надо знать, в чем измеряются физические величины, такие как сила(Н), масса(кг), скорость(м/с) и длина(м).

Периодически в физике встречаются задачи, природа которых совсем не ясна или очень сложна.

Иногда не удается написать даже точного уравнения, а иногда оно оказывается нерешаемым, как например уравнение Навье-Стокса.

Что физики делают в условиях полной неизвестности, когда все остальные методы проваливаются?

Правильно: используют не очень деликатные, но очень эффективные методы.

У физиков есть несколько «путеводных звезд», которые никогда не гаснут и всегда помогают проверить, не фигню ли сморозил.

Примечательно, что этот же метод применим во всех естественных науках: биологии, химии, иногда даже в экономике. Но не в математике.

Матфизику в рассмотрение не берем потому, что это как морская свинка: и к морю не имеет прямого отношения, и к свиньям.

Метод размерностей как раз является одной из таких путеводных звезд.

У него есть две трактовки: физическая и, как ни странно, математическая. Да, «всё смешалось в доме науки».

Так что же это за чудесный метод такой?

Для начала покажу физическую интерпретацию. Если кратко, то он заключается в присвоении величинам размерностей и проверке, что в левой и в правой частях приписанные размерности совпадают.

Кто из нас знаем аэродинамику? Дай бог, один читатель найдется. Сразу скажу, я ее не знаю, но могу показать, как легко и просто выводятся некоторые формулы при помощи метода размерностей.

Предположим, что брат спросил тебя, как ведет себя сила сопротивления воздуха по отношению к какому-то телу при разных скоростях.

2) мы знаем, что как-то должна участвовать скорость (v) тела относительно воздушного потока. Скорость измеряется в м/с.

3) мы знаем, что вся эта конструкция будет двигаться в воздухе, плотность (rho) которого измеряется в кг/м^3.

4) мы примерно имеем представление, что чем больше тело, тем больше будет оказываемая на него сила. Примерно поэтому супермен летает с кулаком впереди и ветром в лицо, а не гордо встречает грудью всё сопротивление воздуха. Это значит, что как-то будет влиять площадь поперечного сечения (S). А площадь измеряется в м^2.

Итак, что мы имеем? Что слева должна стоять сила и она измеряется в кг*м/с^2, а справа надо соорудить точно такую же размерность. Поехали!

1) килограммы есть только в плотности, значит, она будет в 1 степени. После деления размерностей из левой части на правую останется: кг*м/с^2 * м^3/кг = м^4/с^2

2) секунды есть только в скорости. Значит, что скорость должна быть в квадрате. Имеем: м^4/c^2 / (м/c)^2 = м^2

3) Ну а площадь поперечного сечения и есть м^2. Значит, сила сопротивления будет прямо пропорциональна площади.

Есть пара логичных правил для метода размерностей:

1) складывать можно только величины одной размерности. Например, м+кг или с+с^2 являются некорректными, а м/с+м/с является корректным выражением.

2а) исключением может быть только логарифм. Например, ln(E/E0)=ln(E)-ln(E0). В левой части безразмерная величина, а в правой разница логарифмов от размерных величин. В таких случаях проблем не возникает, если пользоваться всегда строго одной системой измерений (например, СИ).

При помощи этого метода очень легко проверять формулы на правильность, особенно если перед тобой формула длиной в один лист А4, и нет никакого желания лезть в выкладки. Можно просто проверить на каждом листе рандомно по одной формуле и с очень большой долей вероятности быть уверенным в правильном ответе, затратив очень мало времени.

Почему в математике с ним сложно? Вот есть, например, уравнение единичной окружности x^2+y^2=1. В правой части безразмерная величина, значит, и в левой величина безразмерная. Здесь размерности просто-напросто вводить некуда. С другой стороны, если уравнение окружности выглядит как x^2+y^2=R^2, то размерности появляются. И пусть они будут хоть метрами, хоть джоулями, но x, y и R должны иметь одну и ту же размерность. Вот так в математике почти со всеми уравнениями.

Теперь о приложениях в разных отраслях.

Если взять, например, экономику, то там иногда мелькают курсы валют типа USD/RUB.

И если вдруг внезапно где-то оказывается USD^2/RUB, то где-то раньше надо искать ошибку, или объяснять, откуда взялась такая размерность.

В биологии же можно придумать аналогичные размерности а’ля самец/самка, кг/человек, Рентген/кг, и т.д.

Химия близка к физике и ее освещать я не буду. Скажу только, что ко всем величинам добавляется моль, а правила останутся теми же.

Источник

Применение размерности для проверки правильности решения физических задач

Разделы: Физика

1. Понятие размерности

Для начала упорядочим некоторые понятия, с которыми мы имели дело раньше и с теми, которые встретятся нам в будущем. К таким физическим понятиям относятся: наименование, название физической величины, в выбранной системе единиц, размерность, обозначение и определяющее уравнение.
Разберём это на некоторых примерах взятых из раздела «Механика» и знакомых нам. Для краткости сведём всё это в таблицу.

Наименование

S = a 3

L 2

V = а 3

L 3

V = S/t

L T –1

а =

метр в секунду
за секунду

L T –2

M L –3

Это простые и часто встречающиеся понятия, причём название физической величины вытекает из определяющего её уравнения. Но ряд физических величин имеют «клички». Название величины не следует прямо, как прежде, из определяющего уравнения.

1. Скорость – это физическая величина равная отношению пути, пройденного телом, ко времени за которое этот путь пройден. Отсюда следует определяющее уравнение V = S/t.
2. Работа – это физическая величина равная произведению силы, приложенной к телу на путь, который прошло тело под действием этой силы. Отсюда следует определяющее уравнение: A = F S.
До введения интернациональной системы единиц (СИ), существовал несколько систем единиц.
Так в одной из них основными единицами были: единица массы – грамм; единица длины – сантиметр; единица времени – секунда. Эта система единиц называлась СГС.
Были и другие системы единиц. Но масса есть масса в любой системе. Будь она в кг, или в г, или в мг. Поэтому, независимо от выбранной системы единиц, принято размерность выражать в символах. Масса – М. Длина – L. Время – Т.

В таблице выше соответствующая колонка называется просто размерность.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Определить размерность Джоуля. Определяющее уравнение A = F S
2. Определить размерность Ватта. Определяющее уравнение N = A / t
3. Определить размерность Герца. Определяющее уравнение = 1 / Т
4. Определить размерность Паскаля. Определяющее уравнение р = F/S
5. Определить размерность момента силы. Определяющее уравнение М = F L.

2. Проверка правильности решения задач по размерности

«Видкиль воно взялось и на щоб воно сдалось» Украинская пословица.

Проанализируем решение этих задач.

1. Что общего было в этих задачах? (Определялся путь S)
2. В чём различие в этих задачах? (В каждой задаче описывается различное движение, а значит, применяются различные уравнения для определения пути)

То есть различие в том, что одна и та же величина (путь) определяется через различные величины. В № 1 через V и t. В № 2 через а и t. В № 3 и № 4 через V_о, a, t.
Эти величины имеют различные размерности, а в результате произведенных действий получается во всех случаях одна и та же размерность – метр.
Произведём, не используя модулей этих величин, предлагаемые действия только с размерностями.

1. S = V t = 2. S = . 3.4. S = V0t ± = ± =L±L= L

Отсюда следует, L =/= 1 + Т. Задача решена неверно. Где ошибка? В правой части уравнение представляет двучлен. Одна его часть имеет размерность L, а другая L/T. Как из этого выражения L/T получить L? Нужно умножить его на Т. Тогда получим размерность первого члена L. Первый член и второй член правой части уравнения будут иметь размерность L, то есть L + L = L. Левая и правая части будут иметь одинаковую размерность. Значит, первый член правой части уравнения должен иметь вид не V_о, а V_о t.
Теперь, предположим, решающий допустил другую ошибку. В уравнении S = V_оt +at 2 /2 вместо знака «+» поставил знак «–». Поможет ли здесь метод размерности указать на ошибку? Решение задачи № 4 говорит о том, что задача решена правильно. L = L – L = L, но модуль величины другой.
Отсюда следует второй вывод: метод размерностей может подсказать ошибочность физического направления решения, но не может подсказать ошибочность математического действия.
Решим несколько задач по кинематике и сделаем проверку их правильности решения, применив метод размерности.

Задача № 1.

За время равное 2 с, тело, двигаясь прямолинейно и равноускоренно, прошло путь 20 м. Его скорость при этом увеличилась в 3 раза. Определить ускорение тела.

Сделаем проверку решения методом размерности.
Размерности левой и правой части уравнения совпадают, значит, задача решена правильно.

Задача №2.

Тело, двигаясь от остановки равноускоренно, за первые 5 секунд движения прошло путь 10 м. Какой путь пройдёт это тело за 10 секунд от начала движения?

Мы проделали громоздкие преобразования. Не допустили ли мы ошибку? Воспользуемся знанием закономерности размерности и проверим свою работу.
L T–1 = Следовательно, задача решена верно.
Подставим числовое значение входящих величин и получим числовой ответ задачи.

V0 = (м/с)

Задача №4. Во сколько раз скорость пули при вылете её из ствола винтовки больше скорости этой пули при прохождении ею 1/3 ствола?

Источник

Проверка размерности

Порой, нам кажется, что размерности правой и левой частей формулы не совпадают. Тогда это либо ошибка, либо стоит вспомнить законы физики и проверить сводится ли одно выражение к другому.

Хочу напомнить, что любая физическая величина когда-то вводилась в обращение, и она имеет свою формулу – определение и описанный словесно физический смысл.

Здесь с размерностями все впорядке, так как и справа и слева величины измеряются в ньютонах [H]=[H].

А может встречаться и в таком виде

В этом случае для размерностей получаем [H]=[кг][м 2 /с 2 ]/[м] или, если упростить [H]=[кг][м/с 2 ].

Как правило, если мы встречаем выражение, где размерность правой и левой частей равны, то это условие, характеризующее конкретную физическую ситуцию.

Выражение (1) является условием равновесия сил. Например, при вращении шара на веревочке. Но такое условие выполняется далеко не всегда. Так, для того, чтоб космический корабль ушел с орбиты Земли в открытый космос условие будет таким

Условие, описывающее ситуацию, может выгляет так m_{1 х} g=m_{2 х} g или m₁=m₂, а в размерностях это будет [кг]=[кг].

Это условие выполнится, когда чаши весов выравняются, а пока ситуация на картинке описывается как m₁>m₂.

В равенстве выражения справа и слева могут быть сложными. Так движение электрона вокруг ядра в атоме водорода мы описали равенством центробежной и центростремительной сил.

Подставим выражения для этих сил и получим (3)

Проверим размерность этого равенства.

На первый взгляд они совешенно не похожи. Ошибка?

Вспомним, что фарады, кулоны и вольты можно выразить через другие величины

1 Кл = 1 А·с 1В= м² · кг · с −3 · A −1 и подставим это в выражение для размерности.

Мы получили тоже самое выражение, что и для левой части равенства. Значит, формула (3) имеет право быть.

Давайте проверим размерность для этой величины . Для этого подставляем размерность для каждого из трех множителей в выражение

Раскрываем скобки, сокращаем подобные члены и получаем

Заменяем выражение для размерности заряда через [ кг/с] и опять сокращаем подобные члены

Хорошо видно, что это размерность ускорения.

Источник

Что такое проверка размерности в физике

Итак, начнем с размерностей. Они делятся на основные и производные.

Сразу оговоримся, раньше официально в качестве основной единицы использовался Кулон (Кл), а не Ампер (А). Теперь же Кулон получается из Ампера, который определяется непосредственно по силе взаимодействия двух определенных проводников с током именно, как сила взаимодействия (притяжения или отталкивания) проводников с током.

Все очень логично – сила тока 1 Ампер есть такой ток (т.е. количество переносимого в единицу времени (с) заряда (Кл) в проводниках), который вызывает силу взаимодействия величиной 1 Ньютон между двумя проводниками с током длиной в 1 метр каждый, которые находятся на расстоянии 1 метр.

Видите, как все взаимосвязано!

Считается, что основные величины размерностей – это некие эталонные величины, которые мы находим экспериментально. Причем в этих экспериментах каждый раз получаются одинаковые значения физических величин при одинаковых условиях измерений.

Например, метр – это, по сути, металлический стержень, который хранится во Франции в специальном институте («Международное бюро мер и весов» — постоянно действующая организация со штаб-квартирой, расположенной в городе Севр недалеко от Парижа) при определенной температуре (и других постоянных условиях), с которым мы должны сравнивать и измерять все остальные «метры».

Секунда, это примерно (1 / 86400) одна восьмидесятишеститысяччетырехсотая средних астрономических суток. И к тому же эти сутки меняются со временем, правда очень медленно. Но зато у нас есть всемирная служба точного времени, которая сообщает нам, когда заканчивается один час и начинается другой.

Метр, что интересно, — это и единица коэффициента трения качения, и единица длины волны излучения, и длины свободного пробега, и оптической длины пути, и фокусного расстояния, и комптоновской длины волны, и длины волны де Бройля и многих других физических величин, имеющих размерность длины.

По определению, метр равен расстоянию, которое проходит свет в вакууме за промежуток времени, равный 1 / 299 792 458 секунды. Такое определение метра (в терминах времени и скорости света) было принято на XVII Генеральной конференции по мерам и весам в 1983 году.

С практической точки зрения, для решения физических задач, эти подробности не слишком важны. Важно, что каждой физической величине соответствует своя размерность. И что эти величины с размерностями можно складывать или вычитать, только если они одинаковые.

Но их можно также умножать и делить. И при этом образуются новые физические величины (новые размерности).

Сейчас мы с вами займемся конструированием физических величин.

Дальше можете продолжить сами!

Вопрос: Может быть квадратный килограмм?

Ответ: Может. Но только физического смысла в этом нет никакого.

Ниже приведена таблица размерностей с названиями физических величин.

Таблица размерностей физических величин.

Основная размерность
МАССА

Основная размерность
ДЛИНА

Основная размерность
ВРЕМЯ

Основная размерность
СИЛА ТОКА

Основная размерность
ТЕРМО-
ДИНАМИ-
ЧЕСКАЯ ТЕМПЕРАТУРА

Основная размерность
Количество вещества

Основная размерность
Сила света

Источник

Проверка правильности традиционного решения задач с помощью размерности

Описание презентации по отдельным слайдам:

Проверка правильности традиционного решения задач с помощью размерности

Цель занятия: научиться проверять правильность традиционного решения задач с помощью размерности Задачи занятия: 1.Рассмотреть задачи, описывающие различное движение, в которых применяются различные уравнения для определения пути. 2. Сделать вывод, что в правильно составленном уравнении, размерность правой его части равна размерности его левой части. 3. Доказать, что метод размерностей может подсказать ошибочность физического направления решения, но не может подсказать ошибочность математического действия.

Зная закономерность размерности, мы можем произвести размерностную проверку любой физической формулы, сколько бы слагаемых членов она не содержала и какими бы «страшными» они не были. Проверьте, пожалуйста, несколько известных уравнений кинематики, используя символы МLT 1. S = Vt 2. 3. 4. V = at 5. V = V0 + at

Проверим 1. S = Vt 2. 3. 4. V = at 5. V = V0 + at Вывод: для всех рассмотренных уравнений размерность слева равна размерности справа.

Произведём предлагаемые действия только с размерностями, не используя модулей этих величин 1. S = V t = 2. S = 3.4. S = V0t ± = ± Отсюда следует закономерность: в правильно составленном уравнении, размерность правой его части равна размерности его левой части. =L±L= L

То ли ошибка в вычислении, то ли в преобразовании, то ли в неправильном написании, правильно выбранного уравнения? Проверяя правильность решения по наименованию можно найти причину ошибки. Как это сделать? Вместо модулей величин подставить размерности величин и сравнить размерности левой и правой части уравнения, то есть использовать, указанную выше, закономерность. Отсюда следует: L ≠ 1+Т. Задача решена неверно.

Теперь предположим, что при решении задачи допущена другая ошибка: в уравнении вместо знака «+» поставил знак «-». Поможет ли здесь метод размерности указать на ошибку? Отсюда следует второй вывод: Метод размерностей может подсказать ошибочность физического направления решения, но не может подсказать ошибочность математического действия.

Решение. 1 Движение равноускоренное с V0 ≠ 0. 2. Его уравнения V = V0 + at (1) S = V0t + at /2 (2) V – V0 = 2aS (3)

Сделаем проверку решения методом размерности

S2 = S1 Проверим правильность решения по размерности. L = L x T x T = L т. е L = L Задача решена правильно. Подставим числовое значение величин и получим ответ задачи. S2 = 10 (м).

Воспользуемся знанием закономерности размерности и проверим свою работу. L T = Подставим числовое значение входящих величин и получим числовой ответ задачи. V0 = м/с ЗАДАЧИ

Алгоритм решения физических задач методом размерности. Цель занятия: Сформулировать КРИТЕРИЙ правильности решения физической задачи, не содержащей числовых коэффициентов и тригонометрических функций. Задачи занятия: Критерий истинности уравнения Критерий истинности смысла уравнения Выдвижение гипотез Составление уравнений размерности Решение системы уравнений размерности Ошибочные гипотезы

Устанавливаемая с его помощью зависимость искомой величины от величин, определяющих исследуемое явление, находится с точностью до постоянного коэффициента (или коэффициента, зависящего от безразмерного параметра, например от угла). Для получения точных количественных соотношений нужны дополнительные данные. Поэтому метод размерностей не является универсальным методом.

Он нашёл плодотворное применение в тех областях физики (гидравлике, аэродинамике и др.), где строгое решение задачи часто наталкивается на значительные трудности, в частности из-за большого числа параметров, определяющих физические явления.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс профессиональной переподготовки

Физика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Курс профессиональной переподготовки

Методическая работа в онлайн-образовании

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДВ-271403

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

В Ленобласти педагоги призеров и победителей олимпиады получат денежные поощрения

Время чтения: 1 минута

В России планируют создавать пространства для подростков

Время чтения: 2 минуты

В России предложили учредить День семейного волонтерства

Время чтения: 2 минуты

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

В Москве новогодние утренники в школах и детсадах пройдут без родителей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник