что такое непрерывность в математике

Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения

Содержание:

Непрерывность функций и точки разрыва

Непрерывность функции

Определение: Функция

— предел функции в точке равен значению функции в исследуемой точке, т.е.

Пример:

Найти область непрерывности функции

Решение:

Данная функция непрерывна так как в каждой точке указанного интервала функция определена, в каждой точке существуют конечные и равные лево- и правосторонние пределы, а предел функции в каждой точке равен значению функции в этой точке.

Замечание: Всякая элементарная функция непрерывна в области своего определения.

Точки разрыва

Определение: Точки, в которых не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции, называются точками разрыва. Различают точки разрыва первого и второго родов.

Определение: Точкой разрыва I рода называется точка, в которой нарушается условие равенства лево- и правостороннего пределов, т.е.

Пример:

Доказать, что функция в точке имеет разрыв первого рода.

Решение:

Нарисуем график функции в окрестности нуля (Рис. 64): Рис. 64. График функции Область определения функции: т.е. точка является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: Следовательно, в изучаемой точке данная функция терпит разрыв первого рода.

Замечание: По поводу точки разрыва I рода иначе говорят, что в этой точке функция испытывает конечный скачок (на Рис. 64 скачок равен 1).

Определение: Точка, подозрительная на разрыв, называется точкой устранимого разрыва, если в этой точке левосторонний предел равен правостороннему.

Пример:

Доказать, что функция имеет в точке устранимый разрыв.

Решение:

В точке функция имеет неопределенность поэтому эта точка является точкой, подозрительной на разрыв. Вычислив в этой точке лево- и правосторонний пределы убеждаемся, что данная точка является точкой устранимого разрыва.

Определение: Все остальные точки разрыва называются точками разрыва II рода.

Замечание: Для точек разрыва второго рода характерен тот факт, что хотя бы

один из односторонних пределов равен т.е. в такой точке функция терпит бесконечный разрыв.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Найдем область определения этой функции: т.е. точка

является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: Так как левосторонний предел конечен, а правосторонний предел бесконечен, то в изучаемой точке данная функция терпит разрыв II рода.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Найдем область определения этой функции: т.е. точка является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: Так как левосторонний и правосторонний пределы бесконечены, то в изучаемой точке данная функция терпит разрыв II рода.

Операции над непрерывными функциями

Теорема: Сумма (разность) непрерывных функций есть непрерывная функция.

Доказательство: Докажем приведенную теорему для суммы двух функций которые определены в некоторой -окрестности точки в которой лево- и правосторонние пределы равны между собой. Так как функции непрерывны в некоторой -окрестности точки то выполняются равенства: В силу того, что существуют конечные пределы обеих функций, то по теореме о пределе суммы двух функций имеем, что Аналогично теорема доказывается для суммы (разности) любого конечного числа непрерывных функций. Нижеприведенные теоремы доказываются так же, как и теорема.

Теорема: Произведение непрерывных функций есть непрерывная функция.

Теорема: Частное двух непрерывных функций при условии, что во всех точках общей области определения функция , есть непрерывная функция.

Теорема: Сложная функция от непрерывных функций есть непрерывная функция.

Схема исследования функции на непрерывность

Исследование функции на непрерывность проводят по следующей схеме:

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Согласно схеме исследования функции на непрерывность имеем:

Рис. 65. Поведение графика функции в малой окрестности точки разрыва второго рода

Из рисунка видно, что график функции —неограниченно приближается к вертикальной прямой нигде не пересекая эту прямую.

Свойства непрерывных функций на отрезке (a; b)

Свойства непрерывных функций на отрезке .

Определение: Замкнутый интервал будем называть сегментом.

Приведем без доказательства свойства непрерывных функций на сегменте .

Теорема: Если функция непрерывна на сегменте , то она достигает своего наименьшего () и наибольшего () значения либо во внутренних точках сегмента, либо на его концах.

Пример:

Привести примеры графиков функций, удовлетворяющих условиям теорем(см. Рис. 66).

Рис. 66. Графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы.

Решение:

На графике а) функция достигает своего наименьшего и наибольшего значений на концах сегмента На графике б) функция достигает своего наименьшего и наибольшего значения во внутренних точках сегмента На графике в) функция достигает своего наименьшего значения на левом конце сегмента а наибольшего значения во внутренней точке сегмента

Тб. Если функция непрерывна на сегменте и достигает своего наименьшего () и наибольшего () значений, то для любого вещественного числа С, удовлетворяющего неравенству , найдется хотя бы одна точка такая, что .

Пример:

Изобразить графики функций, удовлетворяющих условиям Тб (см. Рис. 67).

Рис. 67. Графики функций, удовлетворяющих условиям Тб.

Теорема: Если функция непрерывна на сегменте и на его концах принимает значения разных знаков, то найдется хотя бы одна точка такая, что.

Пример:

Изобразить графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы(см. Рис. 68).

Рис. 68. Графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы.

На графике а) существует единственная точка, в которой выполняются условия теоремы. На графиках б) и в) таких точек две и четыре, соответственно. Однако в случаях б) и в) для удовлетворения условий теоремы надо разбивать сегмент на отдельные отрезки.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

CS108a. Непрерывная математика

Тематический план

Общее

Институт математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича

Направление «Фундаментальная информатика и информационные технологии»

Лектор к. ф.-м. н., доцент кафедры ИВЭ А.В. Абрамян

Лекция 1. Введение

Содержание лекции 1. Функция «модуль» и ее свойства. Функции «сигнум», «пол» и «потолок». Промежутки. Аксиома полноты. Ограниченные множества Свойства ограниченных множеств. Максимальный и минимальный элемент. Единственность максимального и минимального элемента. Верхняя и нижняя грань множества. Точная верхняя и точная нижняя грань множества.

Вводная лекция. Часть 1

Вводная лекция. Часть 2

Лекция 2. Предел последовательности

Содержание лекции 2. Определение последовательности. Предел последовательности Сходящиеся последовательности. Теорема о единственности предела последовательности. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности. Теорема о пределе суммы, разности и произведения последовательностей. Следствие.

Лекция 3. Предел последовательности

Лекция 4. Предел последовательности

Содержание лекции 4. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Монотонные последовательности. Критерий сходимости возрастающей последовательности. Следствия. Приложения теоремы о пределе монотонной последовательности (шесть примеров). Число е.

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Монотонные последовательности. Критерий сходимости возрастающей последовательности. Следствия 1-3.

Следствие 4. Приложения теоремы о пределе монотонной последовательности (шесть примеров).

Лекция 5. Предел последовательности

Содержание лекции 5. Подпоследовательность. Теорема о пределе подпоследовательности. Частичный предел. Лемма Больцано-Вейерштрасса. Критерий Коши сходимости последовательности. Пример применения критерия Коши (расходимость гармонической последовательности)..

Подпоследовательность. Теорема о пределе подпоследовательности. Частичный предел. Лемма Больцано-Вейерштрасса.

Критерий Коши сходимости последовательности. Пример применения критерия Коши (расходимость гармонической последовательности).

Лекция 6. Предел функции

Ограниченные функции. Точная верхняя и точная нижняя грань функции. Максимум м минимум функции. Окрестность и выколотая окрестность точки. Свойства выколотых окрестностей.

Предел функции в точке. Теорема о единственности предела. Односторонний предел. Теорема о связи предела функции и односторонних пределов (критерий).

Лекция 7. Свойства пределов

Содержание лекции 7. Локальные свойства функции, имеющей предел. Арифметические операции с пределами.

Локальные свойства функции, имеющей предел. Арифметические операции с пределами: предел суммы и разности функций.

Арифметические операции с пределами: предел произведения и частного функций

Лекция 8. Свойства пределов

Содержание лекции 8. Свойства пределов, связанные с неравенствами. Монотонные функции. теорема об односторонних пределах монотонной функции на промежутке. Следствия. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.

Три свойства пределов, связанные с неравенствами:

Определение монотонной и строго монотонной функции. Теорема о существовании односторонних пределов монотонной функции.

Три следствия к теореме о существовании односторонних пределов монотонной функции.

Лекция 9. Предел функции. Непрерывные функции

Содержание лекции 9.

Критерий Коши существования предела функции.Пример применения Критерия Коши.

Источник

Непрерывность функции в точке, разрывы первого и второго рода

Процесс исследования функции на непрерывность неразрывно связан с навыком нахождения односторонних пределов функции. Поэтому, чтобы приступить к изучению материала данной статьи, желательно предварительно разобрать тему предела функции.

Непрерывность функции в точке

Данное определение позволяет вывести следствие: значение предела функции в точках непрерывности совпадает со значением функции в этих точках.

Решение

Соответствующая последовательность значений функций выглядит так:

на чертеже они обозначены зеленым цветом.

Соответствующая последовательность функций:

на рисунке обозначена синим цветом.

После вычисления значения функции в заданной точке очевидно выполнение равенства:

Устранимый разрыв первого рода

Решение

Ответ: пределы справа и слева являются равными, а заданная функция в точке х 0 = 5 не определена, т.е. в этой точке функция имеет устранимый разрыв первого рода.

Неустранимый разрыв первого рода

Неустранимый разрыв первого рода также определяется точкой скачка функции.

Решение

Определим пределы справа и слева от этих точек и значение заданной функции в этих точках:

Ответ: в конечном счете мы получили:

Нам остается только подготовить чертеж данного задания.

Разрыв второго рода (бесконечный разрыв)

Решение

Зададим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к х 0 слева. К примеру:

Ей соответствует последовательность значений функции:

Источник

Непрерывность функций с примерами решения и образцами выполнения

Непрерывность функции:

Непрерывные функции, точки разрыва и их классификация, действия над непрерывными функциями, свойства функций, непрерывных на сегменте.

Определение:

Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х₀, если:

Если в точке x₀ функция непрерывна, то точка x₀ называется точкой непрерывности функции.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию в точке х = 1.

Решение:

Чтобы доказать, что функция непрерывна в точке х = 1, необходимо проверить выполнение трех следующих условий (определение непрерывности):

Таким образом, доказано, что функция непрерывна в точке х = 1.

Замечание:

Формулу (10.1) можно записать в виде
(10.2)
так как . Это значит, что при нахождении предела непрерывной функции можно переходить к пределу под знаком функции.

Введем понятие непрерывности функции в точке х₀ справа и слева.
Если, существует f(x) = f(x₀), то функция называется непрерывной в точке x₀ слева. Аналогично определяется непрерывность функции справа.

Так как ∆x = x-x₀, a ∆y = f(x)-(x₀), то условие (10.1) равносильно следующему:

Определение:

Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х₀, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции
(10.3)

Пример:

Показать, что функция у = х³ непрерывна для любого значения аргумента х.

Решение:

Найдем приращение функции ∆y.

Используя теоремы о пределе суммы и произведения функции, получим
(3x²∆x 4- 3x∆x² + ∆x³) = 0.

Следовательно, функция у = х³ непрерывна при — ∞ Точки разрыва функции и их классификация

Определение:

Точка х₀ называется точкой разрыва функции у = f(x), если она принадлежит области определения функции или ее границе и не является точкой непрерывности.

Так, например, функция (рис. 89) терпит разрыв при х = 1. Эта функция не определена в точке х = 1, и не существует предела функции в этой точке.

Рис. 89. График функции

Определение:

Точка разрыва x₀ функции у = f(x) называется точкой устранимого разрыва, если существуют оба односторонних предела в точке x₀ и они равны, т. е.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

В точке x=-1 функция не определена, так как, выполнив подстановку, получаем неопределенность . В других точках дробь можно сократить на (1 + х), так как в них 1 + х ≠ 0. Легко видеть, что односторонние пределы слева и справа в точке х = — 1 равны между собой и их можно вычислить:

Определение:

Если в точке x₀ односторонние пределы слева и справа существуют, но не равны, точка x₀ называется точкой разрыва I рода.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию
(рис. 90).

Рис. 90. График функции

Решение: Вычислим односторонние пределы функции в точке ее разрыва х = 4.

Предел слева —.
Предел справа — .
Пределы слева и справа существуют, но не равны, следовательно, точка x = 4 для данной функции — точка разрыва I рода (точка скачка).

Определение:

Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва I рода, называются точками разрыва II рода.

В точках разрыва II рода не существует хотя бы один из односторонних пределов. Функция , представленная на рис. 89, не имеет ни левого, ни правого конечного предела в точке х = 1. Следовательно, для данной функции x = 1 является точкой разрыва II рода.

Действия над непрерывными функциями

Теорема:

Непрерывность суммы, произведения и частного непрерывных функций. Если функции ϕ(x) и ψ(x) непрерывны в точке Хо, то их сумма и произведение также непрерывны в точке x₀. Если, кроме того, знаменатель в рассматриваемой точке не равен нулю, то частное непрерывных функций есть функция непрерывная.

Докажем непрерывность произведения.

Дано: непрерывность функций в точке x₀:
и

Доказать, что f(x) — ϕ(x) ∙ ψ(x) есть функция непрерывная в точке x₀, т. е. f(x) — f(x₀).

Доказательство:
f(x) = [ϕ(x) ∙ ψ(x)] = ϕ(x) ∙ ψ(x) = ϕ(x₀) ∙ ψ(x₀) = f(x₀).

Можно строго доказать, что все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях х, для которых они определены.

Например, степенная у = xⁿ, показательная у = , тригонометрические у = sin х и у = cos х функции непрерывны на всей числовой оси (х ∈ R), логарифмическая функция непрерывна при х > 0, а тригонометрическая у = tg x непрерывна в каждом из интервалов и терпит разрыв II рода в точках (k = 0; ±1; ±2;…).

Теорема:

Непрерывность сложной функции. Если функция и = ϕ(x) непрерывна в точке x₀, а функция у = f(u) непрерывна в точке и₀ = ϕ(x₀), то сложная функция у = f [ϕ(x)] непрерывна в точке x₀.

В заключение этого раздела рассмотрим два предела, которые нам понадобятся в дальнейшем.

Пример:

Вычислить

Решение:

Заметим, что при х → 0 числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида . Выполним преобразование

Так как данная логарифмическая функция непрерывна в окрестности точки х = 0, то можно перейти к пределу под знаком функции ( f(x)= f (x)).

но — второй замечательный предел.

Следовательно,
(10.4)

В частности, при а = е
(10.5)

Таким образом, у = ln( 1 + х) и у = х — эквивалентные бесконечно малые функции при х → 0.

Пример:

Вычислить

Решение:

Здесь мы имеем дело с неопределенностью вида . Для нахождения предела сделаем замену переменной, положив — 1 = t. Тогда . При х → 0 также и t → 0.

Так как на основании результата, полученного в предыдущем примере, то
(10.6)

В частности, если а = е, имеем

т.е. у = — 1 и y = x — эквивалентные бесконечно малые функции при х → 0.

Свойства функций, непрерывных на сегменте

Определение:

Функция у = f(x) непрерывна на сегменте [а, b], если она непрерывна во всех внутренних точках Этого сегмента, а на концах сегмента (в точках a и b) непрерывна соответственно справа и слева.

Теорема:

Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [а, b], то она достигает на этом сегменте своего наибольшего и(или) наименьшего значения.

Простым доказательством этой теоремы, является геометрическая иллюстрация функции у = f(x) на рисунке 91. Непрерывная на сегменте [α, b] функция достигает наименьшего своего значения в точке х = x₁= а, а наибольшего значения в точке х₂.

Рис. 91. Геометрическая иллюстрация условий теоремы 10.3

Следствие:

Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [a, b], то она ограничена на этом сегменте.

Действительно, если по теореме 10.3 функция достигает на сегменте наибольшего M и наименьшего т значений, то имеет место неравенство m ≤ f(x) ≤ M для всех значений функции на рассматриваемом сегменте. Т. е. |f(x)| ≤ M и, следовательно, функция у = f(x) ограничена на сегменте [а, b].

Теорема:

Теорема Больцано-Коши. Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [а, b] и на ее концах принимает значения разных знаков, то внутри этого сегмента найдется, по крайней мере, одна тонка С, в которой функция равна нулю.

Геометрический смысл теоремы заключается в следующем: если точки графика функции у = f(x), соответствующие концам сегмента [a, b], лежат по разные стороны от оси ОХ, то этот график хотя бы в одной точке сегмента пересекает ось OX. На данном рисунке 92 это три точки x₁, x₂, x₃.

Рис. 92. Геометрическая иллюстрация условий теоремы 10.4

Теорема:

О промежуточных значениях функции. Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [α, b] и f(α) = A и f(b) = В, то для любого числа С, заключенного между A и B, найдется внутри этого сегмента такая точка с, что f(c) = С.

Из графика на рисунке 93 видно, что непрерывная функция, переходя от одного значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения.

Рис. 93. Геометрическая иллюстрация условий теоремы 10.5

Теорема:

О непрерывности обратной функции.) Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [а, b] в возрастает (убывает) на этом сегменте, то обратная функция х = f⁻¹(y) на соответствующем сегменте оси OY существует и является также непрерывной возрастающей (убывающей) функцией.

Эту теорему мы принимаем без доказательства.

Решение на тему: Непрерывная функция

Пример:

Показать, что функция у = 4x² непрерывна в точке х = 2.

Решение:

Для этого необходимо показать, что в точке х = 2 выполняется все три условия непрерывности функции:

1) функция у = 4х² определена в точке х = 2 ⇒ f(2) = 16;
2) существует f(x) = 4x²= 16;
3) этот предел равен значению функции в точке х = 2

f(x) = f(2) = 16.

Пример:

Показать, что функция у = sin x непрерывна для любого значения аргумента х.

Решение:

Найдем приращение функции ∆y, используя формулы тригонометрических тождеств

Так как то при любом х имеем

Эта функция (рис. 94) определена во всех точках сегмента [0,4] и ее значение при х = 3 ⇒ у = 2. Функция терпит разрыв, так как она не имеет предела при х → 3 :

Следовательно, точка х = 3, точка разрыва первого рода. При этом в граничных точках исследуемого сегмента [0,4], функция f(x) непрерывна справа (х = 0) и непрерывна слева (х = 4).

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

В точке х = 5 функция не определена, т.к., выполнив подстановку, получаем неопределенность вида 0/0. Легко доказать, что

Следовательно, точка х = 5 точка устранимого разрыва.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

В точке х = 0 функция (рис. 95) терпит разрыв, так как она не определена в этой точке. Пределы функции слева и справа от точки х = 0 равны ∞. Следовательно, точка х = 0 для данной функции является точкой разрыва второго

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

В точке х = 0 функция терпит разрыв 1-го рода, так как односторонние пределы существуют в этой точке, но не равны:
предел слева
предел справа

Рис. 95. График функции

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию .

Решение:

Рис. 96. График функции

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Функция не определена в точке х = 0. Точка х = 0 является точкой разрыва I рода, так как при х → 0 существуют пределы справа и слева:

Если доопределить функцию в точке х = 0, полагая f(0) = 1, то получим уже непрерывную функцию, определенную так:
f(х) =, если х ≠ 0; f(0) = 1.

Доопределив функцию в точке х = 0, мы устранили разрыв.

Непрерывность функций

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник